Diccionario Filosófico – M.B. 8 (b)

B

básico

a] lógica Concepto básico: un concepto no definido (o primitivo) en un contexto determinado. Supuesto básico: una premisa no demostrada (v. axioma y postulado) en un de terminado contexto. Lo que es básico en un contexto puede derivarse en otro.

b] epistemología Dato de los sentidos, descripción de un objeto percibido o un enunciado protocolario. Sólo los empiristas, en particular los positivistas lógicos, consideran que estos enunciados son básicos o constitutivos de la “base empírica de la ciencia”. En su trabajo, los científicos comprueban los datos y valoran las hipótesis generales y profundas tanto o más que las teorías bien confirmadas.

c] ontología Cosa elemental (indivisible) o constituyente de otras cosas. Ejemplos: los electrones, los quarks y los fotones. Precaución 1: corresponde a la investigación empírica determinar si los objetos de una clase determinada son realmente básicos o tan sólo han permanecido indivisos hasta ahora. Precaución 2: “básico” no es lo mismo que “simple”. Efectivamente los objetos básicos, como los electrones, tienen una conducta bastante compleja y por tanto se describen por teorías sumamente complejas como la mecánica cuántica (v.)

 

bayesianismo

Escuela que defiende la interpretación subjetiva de la probabilidad (v.) como credibilidad o grado de certeza. Sin. personalismo. La esencia del bayesianismo es la interpretación de los argumentos de las funciones de probabilidad como proposiciones y, en particular, de las hipótesis, los datos y las propias probabilidades como credibilidad (grados de credibilidad o certeza). Esta interpretación es insostenible porque

a)   el formalismo matemático no contiene variables interpretables como personas;

b)   el concepto de credibilidad no es matemático ni metodológico, sino psicológico; y

c)   ninguna lista de hipótesis compatibles con un determinado cuerpo de datos puede ser completa y mutuamente excluyente, de tal modo que la suma de sus probabilidades iguale a la unidad, como lo exige la definición de una función de probabilidad (v. industria académica; alquimia epistémica; paradojas probabilistas b; probabilidad subjetiva).

 

bicondicional

Una proposición de la forma “Si p entonces q y a la inversa”. Es decir,  =df . Abreviatura estándar: p syss q. Un bicondicional es verdadero syss ambos constituyentes coinciden en su valor de verdad, o sea, si ambos son verdaderos o bien falsos.

 

bien

a] teoría de los valores Todo lo que posee las propiedades deseables -por ejemplo, promover el bienestar individual o la armonía social.

b] ética Algunas filosofías morales nos imponen perseguir el bien para nosotros y los demás. La mayoría de ellas también postulan una única cosa suprema o summum bonum (v.) (v. valor; teoría de los valores).

 

bioética

La rama de la ética que investiga los problemas morales surgidos en la medicina, la biotecnología, la medicina social y la demografía normativa. Muestra de problemática: la

legitimidad moral de la clonación humana, la planificación familiar obligatoria y la libertad de abortar. Algunos problemas bioéticos también pertenecen a la ética medioambiental, la nomoética (v.) o la tecnoética (v.). Ejemplos: el estatus del derecho a reproducirse en un mundo superpoblado, el derecho a difundir organismos modificados genéticamente y el deber de proteger el medio ambiente.

 

biología

a] ciencia El estudio científico de los seres vivos del presente y del pasado. Como todas las ciencias fácticas, la biología es al mismo tiempo teórica y empírica. Desde el comienzo de las ideas evolutivas, la biología ha sido una de las ciencias históricas junto con la cosmología, la geología y la historiografía.

b] filosofia de El estudio filosófico de los problemas surgidos en la investigación biológica, como los rasgos característicos de los organismos, la naturaleza de las bioespecies, el alcance de la teleología, la estructura de la teoría evolutiva y la posibilidad de reducir la biología a la física y química.

 

biologismo

El programa (v.) de investigación que reduce todas las ciencias sociales a la biología, en particular a la genética y la biología evolutiva. Se trata de la esencia de la sociobiología humana. Este programa no puede llevarse a cabo porque: a] un mismo grupo de personas puede organizarse en diferentes sistemas sociales y b] el cambio social no necesita motivaciones biológicas. A pesar de todo, la sociobiología tiene el mérito de haber recordado a los científicos sociales que las personas no son únicamente conjuntos de intenciones, valores y normas, sino que tienen impulsos biológicos y están sujetas a la evolución.

 

borroso

Sin. vago. Ant. exacta (v.). Ejemplos: “alguno”, “largo”, “viejo”. Propiedad de algunos conceptos y por consiguiente de las proposiciones que los contienen. Un predicado es borroso si su connotación (o sentido) es imprecisa, como consecuencia de lo cual su extensión también resulta poco clara. Resumiendo: predicados borrosos permiten casos dudosos La lógica no vale para los conceptos vagos. Por ejemplo, en muchos casos puede decirse , verdaderamente que un hombre es a la vez calvo y no calvo. La indicación del contexto puede restringir la vaguedad de un concepto; ejemplo, “anciano” en la frase “personas ancianas” hoy en día y en el mundo industrializado denota a las personas que pasan do ochenta años. La vaguedad contribuye al detrimento de la contrastabilidad. Así, la hipótesis psicoanalítica que contienen los conceptos vagos de ello, super yo, trauma, energía psíquica y similares apenas son contrastables -razón por la cual son sostenibles independientemente de los datos empíricos (v. contrastabilidad). Dos problemas filosóficos interesantes sobre la vaguedad son si todo concepto borroso y los grados de vaguedad pueden exactificarse. El primer problema es irresoluble, pues el éxito en exactificar conceptos inexactos no es garantía de que conceptos intuitivos aún no inventados resistirán todos los intentos por domarlos. No obstante, el problema suscita una recomendación metodológica: “Intenta exactificar todos los conceptos útiles.” Respecto al segundo problema, parece que sigue abierto (v. exactitud; vaguedad).

 

 

 

TEOREMA DE INCOMPLETUD DE GÖDEL

Roberto Amenta

 

Lo que pasaremos a relatar es “no apto para quienes se saben ignorantes en matemáticas”. Es mi caso. Pero, como ocurre con las películas, lo “no apto para..” aguijonea la curiosidad y alienta fantasías que en este caso serán satisfechas, aunque solamente en el terreno intelectual (para otras satisfacciones en verdad será mejor ir al cine). Además, tiene el agregado de acceder a uno de los temas que más se discuten en filosofía de la matemática con sus implicancias en la gnoseología.

 

Creo firmemente que este texto terminará por enriquecer a todos, conocedores e ignorantes de la matemática. Se asombrarán seguramente  de cómo un gravísimo perturbado mental al punto de dejarse morir de inanición por propia voluntad, es capaz, sin embargo de esgrimir facultades tan agudas y vigorosas capaces de jaquear las concepciones filosóficas más rigurosas, arguyendo con fundamentos lógico-matemáticos acerca de la imposibilidad de conocer la verdad (interpretación ésta extrapolada por algunos filósofos y con la que Bunge disiente ostensiblemente- vide supra).

 

Sus rasgos patológicos son tan conmovedoramente dolorosos como  sorprendentes y muestran, una vez más, la misteriosa trama de la actividad mental, como si el cerebro enfermo, del cual hay múltiples ejemplos en la historia, estuviera escindido en dos compartimentos, uno que recluye inexorablemente al individuo en la prisión de sus temores o de sus ideas patológicamente irracionales y el otro, lanzado al alumbramiento de los más formidables descubrimientos de la razón.

 

Antes de entrar en la elucidación del famoso teorema de Gödel veamos algunos fragmentos de su biografía y de la desorganización psíquica de este genio cuya mente , junto a la de Cantor, es considerada una de las más brillantes en el campo de las matemáticas y la lógica del siglo XX.

 

 A continuación resumo fragmentos de diversos autores y textos acerca de su biografía.

 

 

Gödel, Kurt (1906-1978)

Matemático estadounidense de origen checoslovaco nacido en Brno (Moravia) el 28 de abril de 1906 y fallecido en Princeton, New Jersey, el 14 de enero de 1978.

Gödel pasó el año académico 1933-34 en Princeton, en el recién fundado Instituto de Estudios Avanzados, donde disertó sobre sus resultados de incompletud. Fue invitado a volver al año siguiente, pero al poco de regresar a Viena sufrió una grave crisis mental. Se recuperó a tiempo para retornar a Princeton en el otoño de 1935; al mes de su llegada sufrió una recaída, y no volvió a impartir enseñanza hasta la primavera de 1937, en Viena. 

Hasta 1939, Gödel parecía haber permanecido indiferente ante los pavorosos acontecimientos que se estaban produciendo en Europa. Aunque interesado por la política, e informado de los acontecimientos, permaneció curiosamente insensible ante ellos. Su falta de compromiso con sus semejantes pudo haberle impedido apreciar la gravedad de lo que estaba ocurriendo. Parecía ajeno a la suerte que estaban corriendo sus colegas y sus profesores, judíos muchos de ellos, y siguió sumido en su trabajo mientras el mundo que le rodeaba se hacía pedazos. Por fin, acabó comprendiendo que con el mundo que se hundía también se estaba hundiendo él. 

En aquella situación desesperada, sin empleo y a punto de ser reclutado, solicitó el apoyo del Instituto de Estudios Avanzados para que le ayudaran a obtener visados de salida para sí mismo y para su mujer. Sus esfuerzos tuvieron éxito. En enero de 1940 ambos emprendieron un largo viaje hacia el este en el ferrocarril transiberiano. Desde Yokohama continuaron por barco hasta San Francisco. Llegaron a Princeton a mediados de marzo. 

Gödel ya no volvería a salir de los EEUU. Tras una serie de nombramientos anuales se le admitió como miembro permanente del claustro en 1946. Dos años después obtuvo la ciudadanía estadounidense. (En aquella ocasión, el juez que le tomó juramento cometió el desafortunado error de pedirle su opinión sobre la Constitución de los EEUU, y desencadenó como respuesta una disertación en toda regla sobre sus contradicciones). Pero Gödel no fue ascendido a catedrático hasta 1953, el mismo año en que fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. Tal demora se debió, en parte, a las dudas que planteaba su estabilidad mental con sus constantes temores sobre posibles emanaciones de gases tóxicos en su refrigerador. Durante aquellos años, su amigo Albert Einstein se preocupó de Gödel lo más que pudo; todos los días daban un paseo. 

Tras su emigración a los EEUU, abandonó el trabajo en teoría de conjuntos y se orientó hacia la filosofía y hacia la teoría de la relatividad. En 1949 demostró que eran compatibles con las ecuaciones de Einstein universos donde se pudiera viajar retrógradamente en el tiempo. En 1950 disertó sobre estos resultados en el Congreso Internacional de Matemáticos, y al año siguiente pronunció la prestigiosa Disertación Gibbs en la asamblea anual de la Sociedad Matemática Americana. Pero en el intervalo entre estas dos intervenciones públicas estuvo a punto de morir por una úlcera sangrante, que descuidó hasta un estadio peligrosamente avanzado, tal era la desconfianza que sentía hacia los médicos. 

El último de sus artículos publicados en vida apareció en 1958. Después, se sumió en la introversión, cada vez más demacrado, paranoide e hipocondríaco. Su última aparición pública aconteció en 1972, al recibir un doctorado honorífico por la Universidad Rockefeller. Tres años después le fue otorgada la Medalla Nacional de Ciencias, pero Gödel disculpó su asistencia por razones de salud. 

El 1° de julio de 1976, alcanzados los 70 años, edad de jubilación obligatoria, Gödel se convirtió en profesor emérito de Instituto. Sus responsabilidades empero no disminuyeron, porque su esposa, que durante tantos años le había alimentado y protegido, había sufrido pocos meses antes un ataque cardíaco que la dejó inválida. Ahora le correspondía a él cuidarla. Y así lo hizo, con devoción, hasta julio de 1977, cuando ella hubo de someterse a una operación de urgencia y permaneció hospitalizada durante casi seis meses. 

Por ser confidencial el historial médico de Gödel, la diagnosis de su mal sigue siendo desconocida. Sus problemas parecen haber comenzado con hipocondría: estaba obsesionado por su dieta y por sus hábitos intestinales. Durante veinte años llevó un registro diario de su temperatura corporal y de su consumo de leche de magnesia. Temía sufrir un envenenamiento accidental; con los años, le aterraba ser objeto de una intoxicación deliberada. Esta fobia le llevó a no querer tomar alimentos, con la consiguiente desnutrición. Lo que no le impedía ingerir píldoras de diversa condición para un imaginario problema cardíaco. 

Salvo en los problemas de crisis, los problemas mentales de Gödel entorpecieron muy poco su trabajo. La persona que le mantuvo en activo fue Adele Porkert, a quien conoció en un local nocturno de Viena durante sus años de estudiante. Porkert, seis años mayor que Gödel, católica y divorciada, con el rostro desfigurado por una “flor” de nacimiento, trabajaba de bailarina. Los padres de Gödel la tenían por motivo de escándalo. Pero ellos no desmayaron en su mutuo afecto, y más de una vez, sirviéndole de catadora de alimentos, Adele contribuyó a paliar los temores de Gödel, cada vez más fuertes, de que buscaban envenenarle. Tras un largo noviazgo, se casaron en septiembre de 1938, justo antes de que Gödel retornase a los EEUU, donde disertó en el Instituto de Estudios Avanzados y en la Universidad de Notre Dame sobre los apasionantes resultados que había obtenido en teoría de conjuntos. 

Por aquellas fechas, Morgenstern, el amigo que había contribuido a cuidar de Gödel tras fallecer Einstein en 1955, murió de cáncer. Gödel tuvo entonces que luchar por sí solo contra su cada vez más acusada paranoia. Solo frente a ella, su declive entró en barrena. Gödel se obsesionó con la idea de que estaba siendo envenenado y temeroso de ser envenenado se negó a comer cualquier tipo de alimento. Murió de inanición voluntaria en 1978.

 


 

Gödel, era un platónico, convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de los conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Para él, un enunciado debía tener un “valor de verdad” bien definido: ser verdadero o no serlo, tanto si había sido demostrado como si era susceptible de ser refutado o confirmado empíricamente. Desde su propio punto de vista, tal filosofía constituía una ayuda para su excepcional penetración en las matemáticas.

 

 

El teorema de incompletud y otras aportaciones

de Gödel a la lógica

 

Antes de desarrollar del tema considero, a los fines de la mejor comprensión, comenzar exponiendo las conclusiones obtenidas por Gödel en su Teorema

 

Hasta el comienzo del siglo XX los matemáticos estaban convencidos de que se podía, al estilo de los escolares con la geometría, demostrar todas las verdades matemáticas por el procedimiento de la deducción.

Gödel demostró en 1931 dos resultados matemáticos:

 

·     Es posible que en determinados casos se pueda demostrar una cosa y su contrario (inconsistencia).

 

·     Existen verdades matemáticas que son imposibles de demostrar (incompletud)

 

El más célebre de sus resultados es el segundo, llamado teorema de incompletud de Gödel.

Este teorema es un hito en las matemáticas. Durante años se había intentado establecer un conjunto de axiomas en los que se pudiesen basar todas las matemáticas. Bertrand Russell lo intentó en Principia Matemática, Hilbert también lo intentó y Gödel demostró que la tarea era imposible.

David Hilbert

 

Como todos los escolares saben, la geometría es una disciplina deductiva. Se diferencia de las ciencias físicas, por ejemplo, que son en parte una ciencia experimental pues se puede comprobar la veracidad de lo que se afirma, por la experimentación

Algunos responderán que se puede hacer lo mismo con la geometría: medir un ángulo, los lados del triángulo… Sin embargo, sí y no… Lo que constituye un éxito de la geometría y la desdicha de muchos alumnos desde los Griegos es el  método axiomático utilizado por Euclides, capaz de demostrar los teoremas de geometría utilizando únicamente la lógica del espíritu y de los axiomas básicos (axiomas de Euclides, por ejemplo), como el famoso “por dos puntos no pasa más que una recta” 

Ahora bien, durante años se había intentado establecer un conjunto de axiomas en el que se pudiese basar todas las matemáticas, propuesto por otro eximio matemático, David Hilbert.  Dicha propuesta implicaba la posibilidad de encontrar un sistema de lógica que pudiera abarcar la matemática clásica y la posibilidad asimismo de probar que ese sistema era:

a)    completo: esto es, dada una fórmula de ese sistema, puede determinarse si ella o su negación pertenecen o no a dicho sistema o son deducibles de él. A decir verdad, dada una proposición cualquiera, llamémosla A, podemos preguntarnos si es posible demostrar, o bien A, o bien la contraria de A. Se considera que un sistema axiomático formal es completo si se puede demostrar, bien que A es verdadera, bien que A es falsa.

b)    consistente: es decir, no existe ninguna fórmula de la que pueda probarse a la vez tanto su verdad como su falsedad

Se puede decir que la teoría es incompleta si existen cosas de las cuales no se puede saber si son verdaderas o no y una teoría es inconsistente si se puede probar a la vez una cosa  y su contrario 

Pero, provocando gran desaliento a los esfuerzos de Hilbert, en 1931 Gödel demostró que si bien la Aritmética elemental es consistente, no puede ser completa, y que en general el programa de Hilbert es irrealizable.

Lo que vino a demostrar el teorema publicado por Gödel  fue que tal suposición era totalmente infundada, ya que probó que un sistema lógico con la suficiente riqueza para posibilitar la axiomatización de las matemáticas es esencialmente incompleto, por albergar al menos un enunciado o teorema no decidible , es decir un enunciado o teorema cuya afirmación y negación son ambas indemostrables sobre la base de los axiomas de ese sistema

A través de una serie de procedimientos matemáticos que en honor a la simplificación y más fácil comprensión ignoraremos, Gödel demostró que incluso en un sistema basado en los Principia Mathematica, en el que solamente se expresaran resultados aritméticos básicos, sería posible encontrar una proposición q para la que no pudiera demostrarse ni q ni no-q. El teorema desvaneció así cualquier esperanza puesta en el logicismo (teoría de Russell según la cual la matemática es una extensión de la lógica y por lo tanto reducible a ella) y propició un tratamiento de la teoría de conjuntos independiente de la lógica.

 

Reiteremos:

 

El Teorema de Gödel demuestra que en cualquier sistema matemático hay proposiciones que no pueden ser probadas ni rechazadas dentro de los axiomas del sistema. Dicho de otra manera:

No se puede probar la consistencia               de los axiomas

 
  El Teorema de Gödel demuestra que en cualquier sistema matemático hay proposiciones que no pueden ser probadas ni rechazadas dentro de los axiomas del sistema. Dicho de otra manera:   No se puede probar la consistencia               de los axiomas


Más claro: Dado un conjunto de axiomas cualquiera, existirán proposiciones verdaderas pero NO podrán ser demostradas en el sistema

Este último resultado apenó muchísimo a Hilbert, quien, como señalamos, había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso “autoconstructivo”, mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de otras más sencillas y evidentes. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no pueden mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática. 

Pero he aquí lo que interesa desde el punto de vista epistemológico:

Por el Teorema de incompletud de Gödel hoy sabemos que en toda teoría habrá una premisa que siendo verdadera será indemostrable (GÖDEL, 1962)

Gödel publicó excepcionalmente poco en vida -menos que ninguno de los otros grandes matemáticos, si se exceptúa a Bernhard Riemann-, pero la influencia de sus escritos ha sido enorme. Sus trabajos han afectado prácticamente a todas las ramas de lógica moderna. Durante el decenio pasado, otros artículos suyos han sido traducidos desde la obsoleta taquigrafía alemana que él utilizaba, y publicados póstumamente en el tercer volumen de sus Collected Works. Sus contenidos, entre los que figura su formalización del argumento ontológico de la existencia de Dios, han empezado también a llamar la atención. 

Gödel demostró que los métodos matemáticos aceptados desde tiempos de Euclides eran inadecuados para descubrir todas las verdades relativas a los números naturales. Su descubrimiento minó los fundamentos sobre los que se había construido la matemática hasta el siglo XX, acicateó a los pensadores para buscar otras posibilidades y engendró un vivaz debate sobre la naturaleza de la verdad

 

 

NOTAS ADICIONALES

Todo nace (en realidad es un nacimiento que se venía gestando desde hacía unos años) con David Hilbert, eminente matemático.

la idea de Hilbert consistía en crear para el razonamiento,  para la deducción y para la matemática  un lenguaje artificial perfecto. Hizo, por tanto, hincapié  en la importancia del método axiomático, donde  se parte de un conjunto de postulados básicos (axiomas)  y reglas bien definidas para efectuar deducciones  y derivar teoremas válidos. La idea de trabajar  matemáticamente de este modo se remonta a los antiguos  griegos, y en particular, a Euclides y su geometría,  un sistema de hermosa claridad matemática.

Dicho de otro modo, era intención de Hilbert ser absolutamente  riguroso en lo que se refería a las reglas  del juego —las definiciones, los conceptos elementales,  la gramática y el lenguaje—, de modo que hubiera  un general acuerdo sobre la forma en que se había de  hacer la matemática. En la práctica resultaría excesivamente  laborioso utilizar un sistema axiomático tal  para desarrollar nuevos resultados o teorías matemáticas,  pero su importancia desde el punto de vista filosófico  sería grande. 

La propuesta de Hilbert no parecía demasiado espinosa.  Después de todo, no hacía sino seguir las tradiciones  de formalización de la matemática; bebía de  una larga historia de trabajos de Leibniz, Boole, Frege,  y Peano. Pero lo que él deseaba era recorrer el camino  completo, hasta el mismísimo fin, y formalizar la totalidad  de la matemática. La gran sorpresa fue que tal  cosa no resultase posible. Hilbert estaba equivocado,  aunque su error fue tremendamente fructífero porque  había planteado una pregunta muy acertada. Al formularla  creó una disciplina del todo nueva, la metamatemática,  un campo introspectivo de la matemática  en el que se estudia lo que la matemática puede, o no  puede, conseguir. 

La noción fundamental es la siguiente: en cuanto se  encierra la matemática en un lenguaje artificial a lo  Hilbert, en cuanto se establece un sistema axiomático  completamente formal, podemos olvidarnos de que  posee algún significado y limitarnos a considerarla un  juego; sus piezas serían marcas trazadas en un papel,  y consistiría en deducir teoremas de los axiomas.  Claro está, si se hace matemática es porque tiene significado.  Pero si se desea estudiar la matemática utilizando  métodos matemáticos, es necesario destilar el  significado y limitarnos a examinar un lenguaje artificial  con reglas absolutamente precisas. 

¿Qué clase de cuestiones podríamos plantear? Por  ejemplo, si se puede demostrar que 0 = 1. (Podemos  esperar que no.) A decir verdad, dada una proposición  cualquiera, llamémosla A, podemos preguntarnos si es  posible demostrar, o bien A, o bien la contraria de A.  Se considera que un sistema axiomático formal es  completo si se puede demostrar, bien que A es verdadera,  bien que A es falsa. 

Hilbert perseguía la creación de reglas tan precisas,  que toda demostración pudiera siempre someterse a un  arbitraje imparcial, a un procedimiento mecánico capaz  de afirmar “esta demostración se atiene a las reglas”, o tal vez “hay un error tipográfico en la línea  4”, o “eso que en la línea 4 se supone es consecuencia  de la línea 3, en realidad no lo es”. Ese veredicto  sería el final. Sin apelación. 

No pensaba Hilbert que la creación matemática hubiera  de llevarse a cabo de ese modo, sino que, si se  pudiera hacer matemática de ese modo, se la podría utilizar  para estudiar su propio poder. Y Hilbert pensó  que él mismo iba a ser capaz de ejecutar tal empresa.  Podemos, pues, imaginar la enormidad del desconcierto  cuando en 1931 un matemático austriaco, Kurt Gödel,  demostró que el plan de rescate de Hilbert no era en  modo alguno razonable. Jamás podría ser llevado a  efecto, ni siquiera en principio. 

La incompletud de Gödel 

Gödel dinamitó la visión de Hilbert en 1931. Por  entonces era docente en la Universidad de Viena,  si bien procedía de la hoy llamada República Checa,  de la ciudad de Brno en concreto, que en aquella  época formaba parte del Imperio Austrohúngaro.  Posteriormente, pasaría, como Einstein, al Instituto de  Estudios Avanzados de Princeton. 

El descubrimiento de Gödel fue pasmoso: Hilbert  estaba totalmente equivocado; no hay modo de que  exista un sistema axiomático para la totalidad de la  matemática en el que quede claro como el agua si un  enunciado es verdadero o no. Con mayor precisión:  Gödel descubrió que el plan falla aun limitándose a la  aritmética elemental, es decir, a los números 0, 1, 2,  3… la adición y la multiplicación. 

Cualquier sistema formal que trate de contener toda  la verdad y nada más que la verdad al respecto de la  adición, la multiplicación y los números 0, 1, 2, 3,…  tendrá que ser incompleto. O más bien: será, ora incoherente,  ora incompleto. Por tanto, si se supone que  solamente dice la verdad, entonces no dirá toda la verdad.  En particular, si se supone que los axiomas y las  reglas de deducción no permiten la demostración de  teoremas falsos, habrá teoremas verdaderos que no  podrán ser demostrados. 

La demostración de la incompletud dada por Gödel  es muy ingeniosa. Muy paradójica. Una locura casi.  Gödel empieza, en efecto, con la paradoja del mentiroso,  a saber, la afirmación “¡soy falsa!”, que no es  ni verdadera ni falsa. En realidad, lo que Gödel hace  es construir una aseveración que dice de sí misma:  “¡Soy indemostrable!”. Desde luego, hará falta muchísimo  ingenio para poder construir en la teoría elemental  de números —en la aritmética— un enunciado matemático  que se describa a sí mismo y diga semejante  cosa, pero si fuéramos capaces de lograrlo, enseguida  comprenderíamos que estaríamos en un brete. ¿Por qué?  Porque si el enunciado es demostrable, entonces es  necesariamente falso; estaríamos demostrando resultados  falsos. Si es indemostrable, como dice de sí mismo,  entonces es verdadero, y la matemática, incompleta. 

Hay en la demostración de Gödel muchos detalles  técnicos complicados. Pero al consultar su artículo  original, encontramos en él algo que se parece mucho  a la programación en LISP. Es debido a que la demostración  de Gödel comporta la definición recursiva  de una gran cantidad de funciones que operan sobre  listas, y eso es precisamente lo que hace LISP. Así  pues, aunque en 1931 no existían los ordenadores ni  los lenguajes de programación, una mirada retrospectiva  deja ver claramente un lenguaje de programación  en el núcleo del artículo original de Gödel. 

John von Neumann, otro famoso matemático de  aquellos tiempos, apreció inmediatamente  el hallazgo de Gödel. Von Neumann jamás  se había planteado que el proyecto de Hilbert pudiera  ser erróneo. Así pues, Gödel no sólo había demostrado  una inteligencia apabullante, sino que tuvo la valentía  de presumir que Hilbert podría estar equivocado.

Muchos consideraron que el artículo de Gödel era  absolutamente devastador. Toda la filosofía matemática  tradicional acababa de quedar reducida a escombros.  En 1931, sin embargo, había en Europa algunos  otros problemas de los que preocuparse: una gran depresión  económica y una guerra en ciernes. 

 

El teorema de indecidibilidad de Gödel

Los teoremas de indecidibilidad y de incompletud de Gödel imponen a los matemáticos la conclusión de que los métodos axiomáticos tienen algunas limitaciones intrínsecas que declaran, por ejemplo, que incluso la aritmética ordinaria no puede ser totalmente axiomatizada, o que la mayoría de los campos más significativos de las matemáticas no pueden estar libres de contradicciones internas. Si pudiésemos refutar los teoremas limitativos, podríamos restaurar las brillantes alternativas propuestas por Leibniz y Hilbert.

El primero de los teoremas limitativos de Gödel, o teorema de indecidibilidad, tiene el número VI en el artículo original del autor en la referencia [1], puesto que, para llegar a ese teorema, él muestra un largo desarrollo dentro de la teoría de “funciones recursivas primitivas”.
Este teorema exige que, en el sistema P (de Principia Matemática aumentado con los axiomas de Peano), hay siempre alguna sentencia tal que ni ella ni su negación son deducibles en el sistema.
Las “funciones recursivas primitivas” juegan un papel fundamental en la matemática, debido a que se acepta en forma general que su uso constituye el equivalente formal de un “método eficaz finito” para calcular o probar algo; en otros términos, significa lo mismo que lo que acostumbramos llamar “algoritmo”. La noción de verdad matemática tiene este carácter, de forma que cualquier ser humano es capaz de reproducir un resultado (matemático).

Uno de los corolarios del teorema de indecidibilidad, el teorema de incompletud, establece que la axiomatización, de cualquier sistema formal que contenga, por lo menos, la aritmética elemental, no puede completarse, a menos que se haga inconsistente

 

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El teorema de incompletud y otras aportaciones

de Gödel a la lógica

Kurt Gödel es una de las figuras más importantes de toda la historia de la lógica. Todos sus trabajos fueron revolucionarios tanto en sus resultados como en los métodos que empleó para obtenerlos. Entre los resultados que podrían ser calificados de “menores” se encuentran el hallazgo de que la aritmética intuicionista es equivalente a la clásica, así como el descubrimiento de que es posible interpretar la lógica intuicionista en la lógica modal clásica.

Deben atribuirse a Gödel dos grandes resultados metodológicos: el primero data de 1930 y es la demostración de la completitud semántica del cálculo de predicados; es decir, la demostración de que la noción de ley lógica entendida como proposición verdadera en todos los mundos posibles coincide con la noción de proposición demostrable desde un punto de vista formal en el cálculo de predicados. El segundo, publicado en 1931, es su famoso teorema de incompletud.

Hasta la fecha en que el planteamiento del teorema vio la luz, existía una opinión generalizada de que era posible llevar a cabo el programa de axiomatización completa de la matemática propuesto por D. Hilbert. Ello implicaba la posibilidad de encontrar un sistema de lógica que pudiera abarcar la matemática clásica y la posibilidad asimismo de probar que ese sistema era completo (esto es, dada una fórmula de ese sistema, puede determinarse si ella o su negación pertenecen o no a dicho sistema o son deducibles de él) y consistente (no existe ninguna fórmula en el sistema de la que pueda probarse tanto su verdad como su falsedad). Lo que vino a demostrar el teorema publicado por Gödel en 1931 fue que tal suposición era totalmente infundada, ya que probó que un sistema lógico con la suficiente riqueza para posibilitar la axiomatización de las matemáticas (como el sistema de los Principia mathematica o la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo, Fraenkel y Von Neumann) es esencialmente incompleto, por albergar al menos un enunciado o teorema no decidible en el sistema, es decir, un enunciado o teorema cuya afirmación y negación son ambas indemostrables sobre la base de los axiomas de ese sistema.

Para enunciar su teorema, Gödel se valió de lo que se ha llamado aritmetización de la sintaxis, o lo que es lo mismo, correlacionó cada uno de los signos de un cálculo dado con números de la aritmética natural elemental. Ello le permitió asociar cada fórmula del cálculo con un número único y representar enunciados matemáticos acerca del cálculo numéricamente. Así, pudo expresar los metateoremas de la sintaxis de un cálculo dado mediante teoremas numéricos y probarlos dentro de esa teoría numérica. Sin embargo, Gödel encontró un enunciado relativo a una fórmula aritmética que afirmaba que tal fórmula no es demostrable en la teoría. Como ese enunciado puede representarse a su vez con un número correspondiente a una fórmula aritmética, entonces puede probarse que la fórmula es demostrable si y sólo si la negación de la misma fórmula es también demostrable.

Todo lo anterior viene a significar que incluso en un sistema basado en los Principia Mathematica, en el que solamente se expresaran resultados aritméticos básicos, sería posible encontrar una proposición q para la que no pudiera demostrarse ni q ni no-q. El teorema desvaneció así cualquier esperanza puesta en el logicismo y propició un tratamiento de la teoría de conjuntos independiente de la lógica.

Otro de los grandes logros de Gödel es el contenido de la obra citada más arriba, La consistencia de la hipótesis del continuo, en la que demuestra que la hipótesis del continuo puede añadirse, sin caer en contradicción, al resto de los principios de la teoría de conjuntos. Gödel demuestra que si la teoría axiomática de conjuntos no es contradictoria, entonces tampoco lo es cuando se le agrega la hipótesis del continuo como un nuevo axioma.

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HILBERT

Matemático alemán, nacido en Königsberg. Fue profesor en la Universidad de Gotinga, ciudad en la que murió. Sus primeros trabajos se orientaron a teorías algebraicas, llegando a formular el teorema sobre las bases finitas, y el informe sobre los números, publicado bajo el título de Teoría de los cuerpos numéricos algebraicos. Su aporte más importante, sin embargo, lo hizo en el campo de la geometría, en la que es considerado como el verdadero fundador de la geometría no euclidiana contemporánea. Con su obra Las bases de la geometría (1899, obra de gran trascendencia en el mundo científico), Hilbert llevó a cabo la evolución del método axiomático tal como había sido desarrollado durante el siglo XIX. En los problemas fundamentales de la física llegó a formular también una teoría independiente de la relatividad, y escribió, en colaboración con Courant, la obra Métodos de la física matemática. Otra obra de gran importancia, escrita junto con P. Bernays, es Los fundamentos de la matemática (1934).

 Hilbert se distinguió siempre por lo atrevido de sus concepciones científicas. Negó la existencia de problemas absolutamente insolubles en el campo de las matemáticas, y en el ámbito de los conocimientos de la naturaleza, al “ignorabimus” de E. Du Bois-Reymond, contrapuso la afirmación: “wir müssen wissen, wir werden wissen” (“necesitamos conocer, pues conoceremos“).

 

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